Андрій Богданов пройшов усі етапи підготовки в футбольній школі київського «Динамо», де з юних років відточував свої навички. Він також грав за третю команду «Динамо», яка виступала у другій лізі чемпіонату України.
У 2008 році підписав контракт з київським «Арсеналом», де під керівництвом В’ячеслава Грозного став частиною основного складу. Виступаючи на позиції центрального півзахисника з потужним ударом, Андрій провів 90 матчів за «канонірів», у яких відзначився 8 голами та 10 асистами.
У червні 2012 року Богданов повернувся до рідного «Динамо», підписавши чотирирічний контракт, проте не зміг закріпитися в основному складі «біло-синіх».
Далі у кар’єрі Андрія був «Металіст», де він провів півроку разом із Олегом Краснопьоровим. Після цього Богданов вирушив за кордон, де спочатку виступав за грецький «Ерготеліс», а потім за молдавський «Саксан».
У жовтні 2015 року Богданов підписав контракт з луцькою «Волинню». Наступного року він приєднався до донецького «Олімпіка». У січні 2018 року підписав угоду з польською «Аркою».
Через рік, на правах вільного агента, уклав контракт з чернігівською «Десною», а у січні 2020 року перейшов до «Колоса» з Ковалівки.
З початком повномасштабного вторгнення РФ до України у лютому 2022 року Богданов записався до лав територіальної оборони Києва, склавши присягу на вірність українському народу. У березні 2022 року він перейшов до ЗСУ.
Після повернення до футболу, Андрій продовжив виступи за «Колос», а влітку 2024 року став гравцем ФСК «Маріуполь».
